數(shù)量關(guān)系涵蓋的題型很廣泛，是同學(xué)們比較頭疼的部分?？荚嚂r(shí)很有可能出現(xiàn)花了時(shí)間，卻還不能得出正確答案的情況。所以這部分一定要有選擇性地作答，同學(xué)們可以選取難度較低或者比較常見(jiàn)的一類題型，這樣才能在較短時(shí)間能盡可能多拿分。今天就讓我們來(lái)了解下容斥問(wèn)題。

容斥問(wèn)題是一種計(jì)數(shù)問(wèn)題，用于解決多個(gè)集合之間有重疊時(shí)的計(jì)數(shù)問(wèn)題。一般涉及兩者容斥和三者容斥以及容斥極值問(wèn)題。在作答時(shí)可以采用畫(huà)文氏圖或者結(jié)合基礎(chǔ)公式的方法。

一、兩者容斥：

注：I：全集 都不：既沒(méi)有A又沒(méi)有B

I=A∪B+都不

=A+B-A∩B+都不

二、三者容斥：

注：I：全集 都不：既沒(méi)有A又沒(méi)有B又沒(méi)有C

I=A∪B∪C+都不

=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不

=A+B+C-只屬于兩個(gè)集合的元素-2×屬于三個(gè)集合的元素+都不

=只屬于一個(gè)集合的元素+屬于兩個(gè)集合的元素+屬于三個(gè)集合的元素+都不

三、容斥極值：

兩者容斥極值：(A∩B)min = A+B-I

三者容斥極值：(A∩B∩C)min = A+B+C-2I

以此類推……

【例1】某單位 65 名職工中，擁有甲、乙、丙三項(xiàng)認(rèn)證中至少一項(xiàng)的職工正好占 80%，沒(méi)有甲認(rèn)證的職工與有乙認(rèn)證的職工人數(shù)一樣多，僅有丙認(rèn)證的職工有 3 人，三項(xiàng)認(rèn)證都有的職工有 6 人，問(wèn)有多少人僅擁有甲、乙兩項(xiàng)認(rèn)證?

A.10 B.13 C.16 D.19

【答案】A。

【解析】

根據(jù)題干信息，可梳理上述文氏圖。設(shè)僅有甲、乙的人數(shù)為x，僅有乙、丙的人數(shù)為y，僅有乙的人數(shù)為z。三項(xiàng)認(rèn)證中至少一項(xiàng)的職工正好占 80%，即65·80%=52，一項(xiàng)都沒(méi)有的為65·20%=13。根據(jù)“沒(méi)有甲認(rèn)證的職工與有乙認(rèn)證的職工人數(shù)一樣多”建立等量關(guān)系。沒(méi)有甲的人為y+z+3+13，有乙的人為x+y+z+6。y+z+3+13=x+y+z+6，解得x=10。即僅有甲、乙的人數(shù)為10。故正確答案為A。

【例2】某單位共有 240名員工,其中訂閱A期刊的有125人,訂閱B期刊的有126人,訂閱 C期刊的有 135 人,訂閱 A、B期刊的有 57 人,訂閱 A、C期刊的有 73 人，訂閱3種期刊的有 31人,此外,還有17人沒(méi)有訂閱這三種期刊中的任何一種。問(wèn):訂閱BC 期刊的有多少人?

A.57 B.64 C.69 D.78

【答案】A。

【解析】根據(jù)題干信息，可確定考查三者容斥。題干分別給到I：240，A：125，B：126, C：135 ，A∩B：57 ，A∩C：73 人，A∩B∩C：31，都不：17人。求B∩C。可利用公式“I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不”求解。代入240=125+126+135-57-73-B∩C+31+17，解得B∩C=64。故正確答案為B。

容斥問(wèn)題是比較簡(jiǎn)單的一類題型，絕大部分容斥問(wèn)題可以采用上述兩種方法求解。如果給出的信息較為復(fù)雜或者不太常見(jiàn)，在作答時(shí)可根據(jù)題干給出的條件，可結(jié)合文氏圖與方程法，靈活作答。

（責(zé)任編輯：李明）